La Lógica Aplicada a las Matemáticas

Hoy vamos a contar una historia curiosa de como aplicando la lógica a las matemáticas nos puede simplificar bastante el trabajo cuando las estemos usando.

Como en clase hemos comenzado a recordar las matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones, os muestro una historia de un matemático que descubrió, aparte de otras cosas, un metodo para resolver sistemas de ecuaciones.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nacido en una modesta cabaña de Alemania e hijo de padres muy pobres, dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos con mucha habilidad. Sus contribuciones a la física y a otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria.

Carl Friedrich Gauss, contaba en 1787 con diez años de edad. Por aquel entonces, iba a la escuela. Un día en el que todos los alumnos se tiraban tizas los unos a los otros, apareció el profesor de repente. Muy enfadado, ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos los números de 1 al 100.
No tardó el muchacho en entregar la respuesta correcta en su pequeña pizarra: 5050. Lo había hecho sin llegar a sumar, utilizando simplemente su lógica, percatándose de un aspecto interesante de aquella sucesión y efectuando una sola operación (en vez de noventa y nueve sumas).

¿Cómo lo hizo el pequeño Gauss para obtener tan rápido la solución?
Se dice que los matemáticos no calculan, sino que piensan.
Gauss tenía que sumar la siguiente serie:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

No obstante, se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas:

(1 + 100) = 101
(2 + 99) = 101
(3 + 98) = 101
…
(49 + 52) = 101
(50 + 51) = 101

Así, todas las sumas de simétricos daban 101. Habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, o sea, 5050.
Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la fórmula de la suma de la serie geométrica, entre otras cosas.

                                                                

PROBABILITY: MONTY HALL

¿Probability? You must be a mathematician to understand it!

No!.  Probability is everywhere.  When you are searching for a parking space you take the streets with more cars parked because probability to run into a car leaving is bigger than in narrow streets.  If you get a poker you bet big because the probability to get better cards is really small.  If you have a pain you are operated because probability to die during the operation is almost zero.

As you see probability is everywhere!

Ok, ok, I agree.  So… Who is Monty Hall?

I’m pretty sure you are thinking he must be a bored and arrogant mathematician from the last century but……… no!!!!  He is a popular TV presenter who run the Tv program: “Let’s Make a Deal”. 

I’m sorry I’m confused. 

Don’t worry, Monty Hall problem is the name of a mathematical problem based on the TV program.  During the show the contestant had to choose among three doors, behind one door there was a car, and behind the others goats!

Once the contestant chose a door, the presenter opened one of the others and let the contestant to change his selection.  Should he change the door he had chosen? What would you do?

Probability is the same for every door, I’d keep my door.

BIG MISTAKE!!! This is because you are thinking with your heart but not with your brain.  I explain in two steps:

STEP ONE

I have three doors and I have to pick one of them.  As everybody knows the probability of each door to have the car behind is the 33.33% (1 in 3).

Once I picked my door I know the probability of having the car behind my door is 33.33% and the probability that the car is behind one of the other doors is 66.66%

STEP TWO

Then the presenter opens a door with a goat, what is the new situation?

The probability of my door keep the 33.33%, HOWEVER, the probability of the other door rises to 66.66% because probabilities keeps in the same way.  I mean, the probability of having a car behind one of the other doors is 66.66%, as I know one of them, probability still is 66.66% but now all percentage is in one door!!

So thinking in terms of probability, the best decision is to change the door and pick the other.  Of course we are speaking of probabilities, victory is not guaranteed but probability goes from 33.33% to 66.66%

If you don’t trust me try at home.  Take a deck of cards and choose three cards, two black and one red.  Now ask your partner to choose one trying to get the red one, put the back side up of one of the other and offer the chance to change his/her selection.  If he/she doesn’t change he/she will lose a lot of times. 

Repeat the game 20 times and check the results!!

Conclusion

If you ever go to a TV program or you are in a similar situation, ALWAYS change your selection.  Forget about hunch, favorite numbers or whatever.  But please, if you lose don’t ask me for compensation!!

El Gúgol

Avanzando a duras penas por esta selva de las matemáticas donde me estoy sumergiendo, hoy me he encontrado con el Gúgol. ¡que susto! Una enormidad de número escondido en una palabra tan pequeña. Estaba buscando por internet infinitos que suman, dividen, se multiplican y sus extraños efectos según donde los pongamos, (aunque sorprendentemente las cosas siempre acaban parecidas, en ceros, en otros infinitos, o no pueden ser); cuando de repente me encuentro con el monstruoso Gúgol, que precisamente debe su existencia a ese mismo propósito, pues parece que fue inventado para poder explicar el complejo concepto del infinito. ¿Y que es un Gúgol?, Un número enormemente grande, monstruosamente grande. tan grande que si escribimos un número que tenga un gúgol de cifras en hojas de papel, el número de hojas no cabría en el universo… Así de grande. En concreto es un uno seguido de cien ceros, o lo que es lo mismo 1x10¹⁰⁰. 

Sí, ya sé lo que estáis pensando. Que así escrito no parece gran cosa. Se nos ha quedado en “ná”. Pero al Gúgol le ocurre lo que a mucha gente. Que es mucho más de lo que parece. Y el increíble Gúgol representa un número mayor que el número de átomos que existen en el Universo. Ahí es nada el Gúgol

Su utilidad práctica, por el contrario, es pequeñita. El matemático que lo inventó, Edward Kasner, lo hizo para explicar las diferencias entre infinito y algo enorme pero finito. Para cosas como decir que infinito por infinito es infinito mientras que gúgol por gúgol es gúgol al cuadrado, y ya está. Pero el Gúgol tiene un poco más de gracia. En parte porque es un ejemplo de la gugolónica creatividad de los niños, ya que fue un niño quien lo bautizó. En concreto el sobrino de 9 años del susodicho matemático, el pequeño Milton, que cuando su tío le pregunto como llamaría al número más grande que se pudiera imaginar, respondió sin dudar, “¡Un Gúgol!” seguro que abriendo mucho los ojos y poniendo la boca muy redonda. La otra gracia que tiene el número es que no podréis comprobar esta historia buscándola en “Gúgol” porque uno de sus fundadores, Larry Page, se equivocó al escribirlo… ya sabéis, Googl…

¿Sabéis que es un Gúgolplex....?

Escalas logarítmicas

¡Uy qué miedo, logaritmos!

Es muy común que al hablar de logaritmos la gente se dé la vuelta y salga corriendo.  Suena como un término muy técnico que no comprenden ni lo usarán en su vida.  Sin embargo eso NO ES CIERTO.

Pero ¿qué es una escala logarítmica? 

Pues es una escala que crece de forma muy rápida y no proporcional.  Por ejemplo supongamos que creamos una escala de esta manera:

De esta forma, en vez de decir “treinta y cuatro trillones seiscientos cuarenta y siete mil doscientos quince millones quinientos setenta y ocho mil ciento cinco” podríamos decir que el resultado es 13,54, lo cual resulta más manejable.

¿Tiene alguna característica especial?

Si mi resultado es 2 y lo comparo con otro que sea 4, la diferencia NO ES EL DOBLE, ya que 2 son 100 y 4 son 10.000, la diferencia es que el valor de 4 es 100 veces mayor que el de 2.  Esta característica es propia de las escalas logarítmicas.

¿Y por qué se llaman logarítmicas? 

Pues básicamente porque, si cogemos cualquier valor como por ejemplo 1.000.000 para conocer el valor en mi escala logarítmica sería:

log 1.000.000 = 6

Generalmente las escalas logarítmicas son de este tipo, de base 10.  Es decir, el número de mi escala 4 corresponde a 10*10*10*10.  Podría ser logarítmica con otra base, pero lo más común es que la base sea 10.

¿Y dónde se utilizan?

Tenemos escalas logarítmicas en muchos y muy variados campos, por ejemplo en la medición del sonido, intensidad de los terremotos, notas musicales, trastes de la guitarra, multiplicación celular…

Ponme un ejemplo

Si nos fijamos en el nivel de ruido, algo conocido por todos es que se mide en decibelios.  Se ha determinado que la escala de nivel de ruido sea la misma que se indica arriba multiplicada por 10, es decir

La intensidad de sonido se mide en función de la intensidad de la presión de las ondas… pero eso no es lo que tratamos.  El valor de esa intensidad puede tomar valores hasta el infinito (los valores entre 0 y 1 son valores que no escucha el oído humano), y para evitar números tan grandes se ha decidido trabajar con una escala logarítmica.  La forma de averiguar los decibelios equivalentes a una presión de 1.000.000 es:

dB = 10 * log 1.000.000 = 60dB

El motivo del número 10 multiplicando es porque la fórmula está pensada para la unidad “belio” pero por comodidad se trabaja con “decibelios”, y como es lógico 1B=10dB (de la misma manera que 1 metro son 10 decímetros).

A modo informativo adjunto la tabla de intensidad de ruido con referencias a sonidos reales: